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经典算法之最长公共子序列

关键词:经典算法最长公共子序列  阅读(895) 赞(41)

[摘要]最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度,是一个非常实用的算法,作为码农,此算法是我们的必备基本功。

一: 作用

       最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度,是一个非常实用的算法,作为码农,此算法是我们的必备基本功。

二:概念

     举个例子,cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢?很显然有27个,比如其中的cb,cgs等等都是其子序列,我们可以看出

子序列不见得一定是连续的,连续的那是子串。

     我想大家已经了解了子序列的概念,那现在可以延伸到两个字符串了,那么大家能够看出:cnblogs和belong的公共子序列吗?

在你找出的公共子序列中,你能找出最长的公共子序列吗?

从图中我们看到了最长公共子序列为blog,仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的,可能会有两个以上,

但是长度一定是唯一的,比如这里的最长公共子序列的长度为4。

 

三:解决方案

<1> 枚举法

       这种方法是最简单,也是最容易想到的,当然时间复杂度也是龟速的,我们可以分析一下,刚才也说过了cnblogs的子序列

个数有27个 ,延伸一下:一个长度为N的字符串,其子序列有2N个,每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配,匹配一次

需要O(N)的时间,总共也就是O(N*2N),可以看出,时间复杂度为指数级,恐怖的令人窒息。

 

<2> 动态规划

      既然是经典的题目肯定是有优化空间的,并且解题方式是有固定流程的,这里我们采用的是矩阵实现,也就是二维数组。

第一步:先计算最长公共子序列的长度。

第二步:根据长度,然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x1,x2,x3,...xi},Y={y1,y2,y3,....,yi},

设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。

递推方程为:

不知道大家看懂了没?动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景,可以有效的避免重复计算,根据上面的

公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度。

using System;
namespace ConsoleApplication2
{
    public class Program
    {
        static int[,] martix;

        static string str1 = "cnblogs";
        static string str2 = "belong";

        static void Main(string[] args)
        {
            martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

            LCS(str1, str2);

            //只要拿出矩阵最后一个位置的数字即可
            Console.WriteLine("当前最大公共子序列的长度为:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);

            Console.Read();
        }

        static void LCS(string str1, string str2)
        {
            //初始化边界,过滤掉0的情况
            for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
                martix[i, 0] = 0;

            for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
                martix[0, j] = 0;

            //填充矩阵
            for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
            {
                for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
                {
                    //相等的情况
                    if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
                    {
                        martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
                    }
                    else
                    {
                        //比较“左边”和“上边“,根据其max来填充
                        if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
                            martix[i, j] = martix[i - 1, j];
                        else
                            martix[i, j] = martix[i, j - 1];
                    }
                }
            }
        }
    }
}

图大家可以自己画一画,代码完全是根据上面的公式照搬过来的,长度的问题我们已经解决了,这次要解决输出最长子序列的问题,

我们采用一个标记函数Flag[i,j],当

①:C[i,j]=C[i-1,j-1]+1  时 标记Flag[i,j]="left_up";    (左上方箭头)

②:C[i-1,j]>=C[i,j-1]   时 标记Flag[i,j]="left";          (左箭头)

③: C[i-1,j]<C[i,j-1]     时 标记Flag[i,j]="up";            (上箭头)

 

例如:我输入两个序列X=acgbfhk,Y=cegefkh。

using System;

namespace ConsoleApplication2
{
    public class Program
    {
        static int[,] martix;

        static string[,] flag;

        static string str1 = "acgbfhk";

        static string str2 = "cegefkh";

        static void Main(string[] args)
        {
            martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

            flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];

            LCS(str1, str2);

            //打印子序列
            SubSequence(str1.Length, str2.Length);

            Console.Read();
        }

        static void LCS(string str1, string str2)
        {
            //初始化边界,过滤掉0的情况
            for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
                martix[i, 0] = 0;

            for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
                martix[0, j] = 0;

            //填充矩阵
            for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
            {
                for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
                {
                    //相等的情况
                    if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
                    {
                        martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
                        flag[i, j] = "left_up";
                    }
                    else
                    {
                        //比较“左边”和“上边“,根据其max来填充
                        if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
                        {
                            martix[i, j] = martix[i - 1, j];
                            flag[i, j] = "left";
                        }
                        else
                        {
                            martix[i, j] = martix[i, j - 1];
                            flag[i, j] = "up";
                        }
                    }
                }
            }
        }

        static void SubSequence(int i, int j)
        {
            if (i == 0 || j == 0)
                return;

            if (flag[i, j] == "left_up")
            {
                Console.WriteLine("{0}: 当前坐标:({1},{2})", str2[j - 1], i - 1, j - 1);

                //左前方
                SubSequence(i - 1, j - 1);
            }
            else
            {
                if (flag[i, j] == "up")
                {
                    SubSequence(i, j - 1);
                }
                else
                {
                    SubSequence(i - 1, j);
                }
            }
        }
    }
}

由于直接绘图很麻烦,嘿嘿,我就用手机拍了张:

好,我们再输入两个字符串:

static string str1 = "abcbdab";
static string str2 = "bdcaba";

通过上面的两张图,我们来分析下它的时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度:构建矩阵我们花费了O(MN)的时间,回溯时我们花费了O(M+N)的时间,两者相加最终我们花费了O(MN)的时间。

空间复杂度:构建矩阵我们花费了O(MN)的空间,标记函数也花费了O(MN)的空间,两者相加最终我们花费了O(MN)的空间。



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